Question

【题目】已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）若点E与点A重合，则x的值为；
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2+4x
（2）2+ 或2﹣
（3）解：存在，过P作PH⊥AB于点H，

∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，

∴PD′=PD=4﹣x，ED′=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+2，∠PD′E=∠D=90°，

在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4﹣x，

根据勾股定理得：D′H= = ，

∵∠ED′A=180°﹣90°﹣∠PD′H=90°﹣∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，

∴△ED′A∽△D′PH，

∴ ，即 = =x= ，

整理得：2x2﹣4x+1=0，

解得：x= ．

当x= 时，y=﹣（ ）2+4× = ＞2，

此时，点E在边DA的延长线上，D关于直线PE的对称点不可能落在边AB上，所以舍去．

当x= 时，y=﹣（ ）2+4× = ＜2，此时，点E在边AD上，符合题意．

所以当x= 时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上

【解析】解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°， ∴∠DPE+∠CPM=90°，
又矩形ABCD，∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴ ，
又CP=x，DE=y，AB=DC=4，∴DP=4﹣x，
又M为BC中点，BC=2，∴CM=1，
∴ ，
则y=﹣x2+4x；
所以答案是：y=﹣x2+4x；（2）当E与A重合时，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴ ，
又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4﹣x，
∴ ，即x2﹣4x+2=0，
解得：x=2+ 或x=2﹣ ，
则x的值为2+ 或2﹣ ；
所以答案是：2+ 或2﹣ ；
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对翻折变换（折叠问题）的理解，了解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．