Question

【题目】对于0，1以及真分数p，q，r，若p<q<r，我们称q为p和r的中间分数．为了帮助我们找中间分数，制作了下表：

两个不等的正分数有无数多个中间分数．例如：上表中第③行中的3个分数、、，有，所以为和的一个中间分数，在表中还可以找到和的中间分数， ， ， ．把这个表一直写下去，可以找到和更多的中间分数．

（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：

①上表中括号内应填的数为 ；

②如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的和的中间分数是 ；

（2）写出分数和（a、b、c、d均为正整数， ， ）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；

（3）若与（m、n、s、 t均为正整数）都是和的中间分数，则的最小值为 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②（2）证明见解析（3）1504

【解析】试题分析：（1）①观察每一行的规律可得括号位于第⑦行，按表格中的规律可知是；

②观察表格可知第一个出现的和的中间分数在第⑧行，是；

（2）答案不唯一，根据表格中观察到的，可以为，通过推导证明即可得；

（3）根据排列可知和的中间分数有， ， ， 等，由此可得.

试题解析：（1）①观察每一行的规律可得括号位于第⑦行，按分子的排序可知是，

②观察表格可知第一个出现的和的中间分数在第⑧行，是，

故答案为：①；②．

（2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：

结论： ．

∵a、b、c、d均为正整数， ， ，

∴，

．

∴．

（3）根据排列可知和的中间分数有， ， ， 等，由此可得mn的最小值为1504，

故答案为：1504.