Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，点C是在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P.

(1)判断△CBP的形状，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为6，AP=,求BC的长.

Answer 1

【答案】（1）△CBP是等腰三角形，理由见解析；（2）8.

【解析】【试题分析】（1）等腰三角形，理由：OC⊥OA，根据垂直的定义得AOC=90°，根据三角形内角和定理∠A+∠APO=90°，因为BC切⊙O于点B,根据切线的性质，∠OBC=90°，即∠OBA+∠CBP=90°，因为OA=OB,根据等边对等角，得∠A=∠OBA,等量代换得，∠APO=∠CBP

对等角相等得，∠APO=∠CPB,∠CPB=∠CBP,根据等角对等边得，CP=CB，即△CBP是等腰三角形；

（2）OC⊥OA，根据勾股定理得，OP=

设BC=x,则OC=x+2,利用勾股定理得：即，解得x=8，即BC=8.

【试题解析】

等腰三角形，理由：

∵OC⊥OA，

∴∠AOC=90°，

∴∠A+∠APO=90°

∵BC切⊙O于点B,

∴∠OBC=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°

∵OA=OB,

∴∠A=∠OBA,

∴∠APO=∠CBP

∵∠APO=∠CPB,

∴∠CPB=∠CBP,

∴CP=CB

△CBP是等腰三角形；

（2）∵OC⊥OA，

∴OP=

设BC=x,

∴OC=x+2,

∵

∴，∴x=8，∴BC=8.