Question

【题目】【发现】：如图1，在正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，BM=AN，连接BN，CM，相交于点O，求∠α
易得：△ABN≌△BCN，则∠1=∠2
∵∠α是△BOC的外角，∴∠α=∠2+∠3
∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=60°

【推广】：在正n边形中，对相邻的两边实施同样的操作…
（1）如图2，在正四边形ABCD中，在AB，AD边上分别取点M，N，连接BN，CM，可确定∠α=°；

（2）如图3，在正五边形ABCDE中，在AB，AD边上分别取点M，N，连接BN，CM，可确定∠α=°；

（3）判断：∠α可以等于160°吗？如果可以，求出对应的边数n，若不可以，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）90
（2）108
（3）解：∠α可以等于160°，

理由：由于上述操作发现的结论可知，正n边形中的∠α=正n边形的内角的度数，

假设存在正n边形使得∠α=160°，则（n﹣2）180°=160°n，

解得：n=18，

∴存在正n边形使得∠α=160°，

此时，该正n边形为正十八边形．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠CBM=90°，

在△ABN与△BCM中， ，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠1=∠2，

∵∠α是△BOC的外角，

∴∠α=∠2+∠3

∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=90°；

所以答案是：90；（2）∵四边形ABCD是正五边形，

∴AB=BC，∠A=∠CBM=108°，

在△ABN与△BCM中， ，

∴△ABN≌△BCM，

∴∠1=∠2，

∵∠α是△BOC的外角，

∴∠α=∠2+∠3，

∴∠α=∠1+∠3=∠ABC=108°；

所以答案是：108；