Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC，BD，半径CO交BD于点E，过点C作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA＝∠DCA．

（1）求证：OE⊥BD；

（2）若BE＝4，CE＝2，则⊙O的半径是　 　，弦AC的长是　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5，4

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠ABD＝∠DCA，则∠CFA＝∠ABD，则可判断BD∥CF，接着根据切线的性质得OC⊥CF，然后根据平行线的性质得到结论；

（2）连接BC，设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，求出r得到⊙O的半径为5，再利用勾股定理计算出BC＝2，接着利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算AC．

（1）证明：∵∠CFA＝∠DCA，∠ABD＝∠DCA，

∴∠CFA＝∠ABD，

∴BD∥CF，

∵CF为⊙O的切线，

∴OC⊥CF，

∴OC⊥BD，即OE⊥BD；

（2）解：如图，连接BC，

设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，OB＝r，

在Rt△OBE中，（r﹣2）2+42＝r2，

解得r＝5，即⊙O的半径为5，

在Rt△BCE中，BC＝，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝．

故答案为5，．