Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，2），∠ABC＝90°，连接AC．

（1）求直线AC的函数表达式；

（2）点P是线段OC上一动点，从点O向点C运动，过点P作PM∥y轴，分别交AB或BC，AC于点M，N，其中点P的横坐标为m，MN的长为n．

①当0＜m≤1时，求n与m之间的函数关系式；

②当△AMN的面积最大时，请直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+1；（2）①n＝m；②m＝时，△AMN的面积最大为

【解析】

（1）先求出点C坐标，再利用待定系数法可求解析式；

（2）①先求出直线AB，BC的解析式，分别表示M，N两点坐标，即可求解；

②分点M在AB上，点M在BC上两种情况讨论，利用一次函数的性质和二次函数的性质分别求出面积最大值，即可求解．

解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥OC于点F，连接OB，

∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，2），

∴OA＝1，BE＝OF＝1，BF＝OE＝2，

∴AE＝BE＝1，

∴∠EAB＝45°，

∴∠BAO＝135°，

∵∠OAB+∠AOC+∠ABC+∠BCO＝360°，

∴∠BCO＝45°，

∴∠BCO＝∠CBF＝45°，

∴BF＝CF＝2，

∴OC＝3，

∴点C（3，0），

设直线AC解析式为：y＝kx+1，

∴0＝3k+1，

∴k＝﹣，

∴直线AC解析式为：y＝﹣x+1；

（2）①如图，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，2），点C坐标（3，0）

易得直线AB解析式为：y＝x+1，直线BC解析式为：y＝﹣x+3，

当0＜m≤1时，即点M在AB上，

∵点P的横坐标为m，

∴点M（m，m+1），点N（m，﹣m+1），

∴MN＝n＝（m+1）﹣（﹣m+1）＝m；

②当0＜m≤1时，MN＝n＝m，

∴S△AMN＝×m×m＝m2，

∴当m＝1时，△AMN的面积最大为，

当1＜m≤3时，同①可得：M'N'＝n＝﹣m+3﹣（﹣m+1）＝﹣m+2，

∴S△AMN＝×m×（﹣m+2）＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，△AMN的面积最大为，

综上所述：当m＝时，△AMN的面积最大为．