Question

【题目】已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标．

（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，是否存在点B′，使得四边形BCB′D是菱形？若存在，请说明理由并求出菱形的边长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（0，1.5）；（2）存在点B'，使得四边形BCB'D是菱形，此时菱形的边长为20﹣8．

【解析】

（1）折叠后使点B与点A重合，则C在AB的中垂线上，Rt△AOC中利用勾股定理即可得到方程，求得C的坐标；
（2）当B'C∥AB（或B'D∥BO）时，四边形BCB'D是菱形，则△OB'C∽△OAB，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得B′C的长度，然后根据△AB'D∽△AOB，即可求得B′D的长．从而证得B'C=BC=B'D=BD．

（1）设C（0，m），（m＞0），

则CO=m，

BC=AC=（4﹣m），

在Rt△AOC中，有（4﹣m）2﹣m2=4，

整理得，12m=8，

∴m=1.5，

∴C（0，1.5）；

（2）存在，当B'C∥AB（或B'D∥BO）时，四边形BCB'D是菱形，

∵∠AOB=90°，OA=2，OB=4，

∴AB=2，

∵B'C∥AB，

∴△OB'C∽△OAB，

∴，

设B'C=BC=x，则，

解得，x=2，

∵B'C∥AB，

∴∠CBD+∠BCB'=180°，

又∵∠CBD=∠CB'D，

∴∠CB'D+∠BCB'=180°，

∴B'D∥BO，

∴△AB'D∽△AOB，

∴，

设B'D=BD=y，

∴，

解得：y=20﹣8，

∴B'C=BC=B'D=BD，

∴四边形BCB'D是菱形，

∴存在点B'，使得四边形BCB'D是菱形，此时菱形的边长为20﹣8．