Question

【题目】如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．

（1）抛物线的解析式是；
（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S四边形EPP′F=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2+2x+3
（2）

解：令PP′交DE于G，

∵PP′∥AF，PE∥FP′，

∴四边形FEP′P是平行四边形，

∴PP′=EF，

∴△DPP′∽△DAB，

∴ ，

又∵A（﹣1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=x，

∴AB=4，DE=4，PP′=x，

∴

∴GE=4﹣x，

又∵S四边形EPP'F=EFGE，

∴y=x（4﹣x）

∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，x=2时，y的最大值是4

（3）

解：假设存在满足条件的点Q（x，y），

作OH⊥BC于H，

∵Rt△BCQ中BC是直角边，

∴Rt△BCQ的另一直角边与OH平行．

又∵OC=OB，CO⊥OB，OB=3，OC=3，

∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OH向上或向右平移3个单位得到（如图）．

由已知得直线OH的解析式是y=x，

∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线解析式是：y=x+3或 y=x﹣3

点Q为直线y=x+3和抛物线交点，

则 ，

解得：x=1，

∴y=4；

②点Q为直线y=x﹣3和抛物线交点，

则 ，

解得：x=﹣2，

∴y=﹣5，

∴存在满足条件的点Q的坐标是：（1，4）和（﹣2，﹣5）

【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点C，
则c=3，
∵抛物线经过A，B两点，∴
解得：a=﹣1，b=2，
所以答案是 y=﹣x2+2x+3；
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．