Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．点P从A出发，沿AB方向，以2cm/s的速度向点B运动，点Q从C出发，沿CA方向，以1cm/s的速度向点A运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2）

（1）t=2时，则点P到AC的距离是 cm，S= cm2；

（2）t为何值时，PQ⊥AB；

（3）t为何值时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；

（4）求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）t=时，PQ⊥AB；（3）当t= 时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；（4）t=3时，S最大=．

【解析】

试题分析：（1）作PH⊥AC于H，根据平行线的性质得到比例式，计算求出点P到AC的距离，根据三角形的面积公式求出△APQ的面积；

（2）根据相似三角形的判定定理证明△APQ∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

（3）根据等腰三角形的三线合一和相似三角形的性质解答即可；

（4）根据题意列出二次函数解析式，运用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．

解：经过t（s），AP=2t，CQ=t，AQ=6﹣t，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm

由勾股定理可求出AB=10cm，

（1）如图1，作PH⊥AC于H，

当t=2时，AP=4cm，AQ=6﹣2=4cm，

∵∠C=90°，PH⊥AC，

∴PH∥BC，

∴=，即=，

解得PH=cm，

S=×AQ×PH=cm2．

故答案为；；

（2）当PQ⊥AB时，又∠C=90°，

∴△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得t=．

答：t=时，PQ⊥AB；

（3）如图1，当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，

AH=AQ，

∵△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得AH=t，

∴t=（6﹣t），

解得，t=，

∴当t= 时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；

（4）∵△APQ∽△ACB，

∴=，即=，

解得，PH=t，

∴S=×AQ×PH=×t×（6﹣t）=﹣（t﹣3）2+，

∴t=3时，S最大=．