Question

【题目】已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝6．点P射线BA上一点，点Q是AC的延长线上一点，且BP＝CQ，连接PQ，与直线BC相交于点D．

（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P，Q分别在射线BA和AC的延长线上任意地移动过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）CD＝；（2）线段DE的长度保持不变，理由见解析.

【解析】（1）过P点作PF∥AC交BC于F，即可构成小等边三角形BPF，再证明△PFD≌△QCD即可求解；

（2）根据（1）分两种情况：点P在线段AB上时，点P在BA的延长线上时分别求解即可得出结论.

解：（1）过P点作PF∥AC交BC于F，

∵点P为AB的中点，∴BP＝A B＝3，

∵AB＝AC＝BC ，∴∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝60°，∠BPF＝∠BAC＝60°，

∴△PBF是等边三角形，

∴BF＝FP＝BP＝3，∴FC＝BC－BF＝3，

由题意，BP＝CQ，∴FP＝CQ，

∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC，

又∠PDF＝∠QDC，∴△PFD≌△QCD，

∴CD＝DF＝ FC＝ ；

（2）当点P，Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变，

分两种情况讨论：

①当点P在线段AB上时，

过点P作PF∥AC交BC于F，由（1）知PB＝PF，

∵PE⊥BC，∴BE＝EF，

由（1）知△PFD≌△QCD，CD＝DF，

∴DE＝EF＋DF＝ BC＝3，

②当点P在BA的延长线上时，同理可得DE＝3，

∴当点P、Q在移动的过程中，线段DE的长度保持不变.