Question

【题目】已知A(α，0)、B(b，0)，点C在y轴上，且由|a＋4|＋(b－2)2＝0．

(1)若S△ABC＝6，求C点的坐标；

(2)将C向右平移，使OC平分∠ACB，点P是x轴上B点右边的一动点，PQ⊥OC于Q点．当∠ABC－∠BAC＝60°时，求∠APQ的度数；

(3)在(2)的条件下，将线段AC平移，使其经过P点得线段EF，作∠APE的角平分线交OC的延长线于点M．当P点在x轴上运动时，求∠M－∠ABC的值．

Answer 1

【答案】(1) C(0，2)或（0，-2）;(2)∠APQ＝30°;(3)∠M－∠ABC＝0.

【解析】

（1）根据已知条件求出点A,B的坐标，结合三角形的面积公式求出点C的纵坐标，即可求出点C的坐标.

（2）根据∠COB为AOC的外角可得∠COB＝∠BAC＋∠ACB，后根据三角形内角和定理可用∠ABC和∠ACB表示∠COB，结合两式及∠ABC－∠BAC＝60°即可求解.

（3）根据三角形内角和定理结合题（1）可得∠M＋∠MPO＝120°，后根据EF∥AC，∠BAC＝∠APF以及PM平分∠OPE可得∠MPO＝90°－∠BAC，再根据已知条件∠ABC－∠BAC＝60°，结合三式即可求得∠M－∠ABC的值.

解：(1) 由已知条件 |a＋4|＋(b－2)2＝0

可求得a=-4,b=2,即A(-4，0)、B(2，0)

S△ABC＝（|a|+b）c=6

可求得c=2

即点C坐标为(0，2)或（0，-2）.

(2) ∵∠COB＝∠BAC＋∠ACB；

又∵∠COB＝180°－∠ABC－∠ACB

∴2∠COB＝180°＋∠BAC－∠ABC，∠ABC－∠BAC＝60°

∴∠COB＝60°，∴∠APQ＝30°

(3) 在△OMP中，∠M＋∠MOP＋∠MPO＝180°，∠M＋∠MPO＝120°

∵EF∥AC，∴∠BAC＝∠APF，

∴∠MPO＝(180°-∠APF )=90°－∠BAC，∠BAC＝∠ABC－60°

∴∠MPO＝120°－∠ABC

∴∠M＋120°－∠ABC＝120°，∴∠M－∠ABC＝0