Question

【题目】如图，在矩形中，、相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．

（1）求证：．

（2）过点作于点，并延长交于点，连接．若，，求四边形的周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据两组对边分别平行且的四边形是平行四边形判断出四边形BEAD是平行四边形，再根据平行四边形对边相等和矩形对边相等即可得出结论；

（2）根据矩形的对角线相等且互相平分及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OB=OC=OG，利用勾股定理求出BC，CO的长．证明BF为△CEG的中位线，再由三角形中位线定理可得EG=2BF，最后根据四边形的周长公式列式计算即可得解．

（1）∵AE∥DB，AD∥EB，∴四边形BEAD是平行四边形，∴BE=DA．

∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∴BE=BC；

（2）∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OCAC．

∵AE∥DB，CF⊥BO，∴CG⊥AE，∴GO为Rt△CGA斜边的中线，∴GOAC=OB，∴BO+OG=BD．

∵CF=6，BF=3，∴BE=BC=．

设CO=x，则FO=BO-BF=x-3．在Rt△CFO中，∵，∴，解得：x=7.5，∴BO+OG=BD=2x=15．

∵OG=CO，OF⊥CG，∴FG=CF=6．

∵CB=BE，∴BF为△CEG的中位线，∴EG=2BF=6，∴四边形BOGE的周长=BO+OG+EG+EB=15+6+=．