Question

【题目】如图，在△ABC 中，∠C=90°

（1）利用尺规作∠B 的角平分线交AC于D，以BD为直径作⊙O交AB于E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）综合应用：在（1）的条件下，连接DE

①求证：CD=DE；

②若sinA=，AC=6，求AD．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）①证明见解析；②AD=.

【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出∠B的角平分线BD，根据线段垂直平分线的作法作出线段BD的垂直平分线，交BD于点O，以O为圆心，以OB长为半径作圆即可；（2）根据直径所对的圆周角为直角可得∠BED=90°，再由角平分线的性质可得CD=DE；在Rt△ADE中，sinA== ，设DC=DE=3x，AD=5x，根据AC=AD+DC列出方程求得x的值，即可求得AD的长.

试题解析：

（1）

（2）∵BD为O的直径

∴∠BED=90°，又∵∠C=90°

∴DE⊥AB，DC⊥BC

又∵BD平分∠ABC

∴DE=DC

（3）

在Rt△ADE中，sinA=

∵sinA=

∴=

设DC=DE=3，AD=5

∵AC=AD+DC

∴3+5=6

=

AD=5=5×=