Question

【题目】（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；

②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；

（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）180°，证明详见解析

【解析】

（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）180°．

解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG

∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°

∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°

∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°

②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，

∵AM∥CN，∴EP∥FQ，

∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°

∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；

（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）180°．

证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，

∴结合（1）问得：

所有角的和为（n+1）180°．