Question

【题目】已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四边形ABCD的周长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADE=∠CBF，

又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB （AAS）

（2）解：在Rt△AED中，

∵∠ADE=30°，AE=3，

∴AD=2AE=2×3=6，

∵∠ABC=75°，∠ADB=∠CBD=30°

∴∠ABE=45°，

在Rt△ABE中，

∵ =sin45°，

∴AB= =3 ，

∴平行四边形ABCD的周长l=2（AB+AD）=2×（6+3 ）=12+6

【解析】（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，可知∠ADE=∠CBD，然后根据AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED=∠CFB=90°，根据这三个条件即可证明全等；（2）根据已知∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，分别在Rt△ABE、Rt△AED中求出AB、AD的长度，即可求出周长．
【考点精析】利用平行四边形的性质和解直角三角形对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．