Question

【题目】小学我们已经知道三角形三个内角和是180°，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题：

已知的平分线与的平分线交于点，

（1）如图2，若，，，则_________；

（2）如图3，若不平行，，，则_______．

（3）在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明．

Answer 1

【答案】（1）35°；（2）40°；（3）∠D+∠B=2∠E，理由见解析

【解析】

(1)（2）在△CDF和△AEF中，有：∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①；在△ABG和△CEG中, ∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②；①＋②再结合的平分线与的平分线交于点，进行化简得到∠E=（∠B+∠D），然后将∠B和∠D代入即可解答；

（3）根据（1）（2）的推导即可得到∠D+∠B=2∠E．

解：（1）如图2在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①

△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②

①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE

又∵的平分线与的平分线交于点

∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE

∴∠E=（∠B+∠D）

∵，

∴∠E＝35°

（2）如图3:同(1)可得∠E=（∠B+∠D）

∵，

∴∠E＝40°

（3）解：∠D+∠B=2∠E．

理由如下：

在△CDF和△AEF中，有∠D+∠DCF= ∠E+∠DAE①

△ABG和△CEG中, 有∠B+∠EAB= ∠E+∠BCE②

①＋②得：∠D+∠DCF＋∠B+∠EAB＝∠E+∠DAE＋∠E+∠BCE

又∵的平分线与的平分线交于点

∴∠DCF＝∠BCE，∠EAB＝∠DAE

∴∠E=（∠B+∠D）

∴∠D+∠B=2∠E