Question

【题目】探究与发现：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.

（1）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；

（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）∠EDC=30°.（2）∠CDE =∠BAD.理由见解析.

【解析】

（1）先根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，根据三角形外角的性质和已知各角的度数得出∠ADC=∠B+∠BAD=105°，再根据三角形外角的性质得到∠AED=∠C+∠EDC，则结合题意可得∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC，解得∠EDC=30°.

（2）由AE=AD，得到∠ADE=∠AED，设∠BAD=x.根据三角形外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x和∠AED=∠C+∠EDC，结合题意得到∠EDC=∠BAD.

（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
则∠B=∠C=45°，
又∵∠ADC是△ABD的外角，∠BAD=60°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°.
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC.
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC，
解得：∠EDC=30°.
（2）∠CDE=∠BAD.

理由如下：
∵AE=AD，
则∠ADE=∠AED，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠EDC +∠C=∠EDC+45°，
∵∠B=∠C=45°，∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45°+∠BAD-∠EDC=45°+∠EDC，

解得：∠EDC =∠BAD，.故∠CDE=∠BAD.