Question

【题目】(2016·宁夏中考)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）CD＝

(1)证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C.∵∠B＋∠ADE＝180°，∠EDC＋∠ADE＝180°，∴∠B＝∠EDC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；

(2)解：连接AE.∵AB为直径，∴AE⊥BC.由(1)知AB＝AC，∴AC＝4，BE＝CE＝BC＝.∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，∴△EDC∽△ABC，∴＝，即CE·BC＝CD·AC，∴·2＝4CD，∴CD＝.

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；

（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，根据等腰三角形的“三线合一”求出CE的长，然后根据两角相等的三角形全等证明△EDC∽△ABC后即可求得CD的长．

试题解析：（1）证明：∵ED＝EC，

∴∠EDC＝∠C．

∵∠B＋∠ADE＝180°，∠EDC＋∠ADE＝180°，

∴∠B＝∠EDC，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC；

（2）解：连接AE．

∵AB为直径，

∴AE⊥BC．

由（1）知AB＝AC，

∴AC＝4，BE＝CE＝BC＝．

∵∠C＝∠C，∠EDC＝∠B，

∴△EDC∽△ABC，

∴＝，

即CE·BC＝CD·AC，

∴·2＝4CD，

∴CD＝．