【题目】如图，在钝角△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，M、N分别为AB、AC的中点，连接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN．求证：

（1）△EMD≌△DNF；

（2）△EMD∽△EAF；

（3）DE⊥DF．

参考答案：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）首先根据D是BC中点，N是AC中点N，可得DN是△ABC的中位线，判断出DN=AC；然后判断出EM=AB，再通过证明四边形AMDN是平行四边形，可得∠AMD=∠AND，进而可证明∠EMD=∠DNF，由全等三角形的判定方法即可证明△EMD≌△DNF；

（2）首先计算出EM：EA的值，DM和AF的数量关系以及证明∠EMD=∠EAF，再根据相似三角形判定的方法，判断出△EMD∽△∠EAF；

（3）由（2）可知△EMD∽△EAF，即可判断出∠MED=∠AEF，然后根据∠MED+∠AED=45°，判断出∠DEF=45°，再根据DE=DF，判断出∠DFE=45°，∠EDF=90°，即可判断出DE⊥DF．

试题解析：（1）∵D是BC中点，M是AB中点，N是AC中点，∴DM、DN都是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM=AC；DN∥AB，且DN=AB；

∵△ABE是等腰直角三角形，M是AB的中点，∴EM平分∠AEB，EM=AB，∴EM=DN，同理：DM=FN，∵DM∥AC，DN∥AB，∴四边形AMDN是平行四边形，∴∠AMD=∠AND，又∵∠EMA=∠FNA=90°，∴∠EMD=∠DNF，在△EMD和△DNF中，∵EM=DN，∠EMD=∠DNF，MD=NF，∴△EMD≌△DNF；

（2）∵三角形ABE是等腰直角三角形，M是AB的中点，∴EM平分∠AEB，EM⊥AB，∴EM=MA，∠EMA=90°，∠AEM=∠EAM=45°，∴=sin45°=，∵D是BC中点，M是AB中点，∴DM是△ABC的中位线，∴DM∥AC，且DM=AC；

∵△ACF是等腰直角三角形，N是AC的中点，∴FN=AC，∠FNA=90°，∠FAN=∠AFN=45°，又∵DM=AC，∴DM=FN=FA，∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD，∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣∠AMD）=90°+∠AMD，∴∠EMD=∠EAF，在△EMD和△∠EAF中，∵，∠EMD=∠EAF，∴△EMD∽△∠EAF；

（3）∵△EMD∽△∠EAF，∴∠MED=∠AEF，∵∠MED+∠AED=45°，∴∠AED+∠AEF=45°，即∠DEF=45°，又∵△EMD≌△DNF，∴DE=DF，∴∠DFE=45°，∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°，∴DE⊥DF．

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