Question

【题目】已知，D、E分别为等边三角形ABC边上的点，AD=CE，BD、AE交于N，BM⊥AE于M．

证明：
（1）∠CAE=∠ABD；
（2）MN= BN．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图所示：

∵△ABC为等边三角形，

∴AC=AB，∠BAC=∠C=60°，

在△ABD和△CAE中， ，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠CAE=∠ABD

（2）

证明：由（1）得∠CAE=∠ABD， ∵∠CAE+∠BAE=60°，
∴∠BAE+∠ABD=60°
∴∠BNM=∠BAN+∠ABN=60°，
∵BM⊥AE，
∴∠BMN=90°，
∴∠MBN=30°，
∴MN= BN．

【解析】（1）与等边三角形的性质得出AC=AB，∠BAC=∠C=60°，由SAS证明△ABD≌△CAE，得出∠CAE=∠ABD即可；
（2）由（1）得∠CAE=∠ABD，求出∠BNM=∠BAN+∠ABN=60°，得出∠BMN=90°，∠MBN=30°，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题．