Question

【题目】已知，如图坐标平面内，A（﹣2，0），B（0，﹣4），AB⊥AC，AB=AC，△ABC经过平移后，得△A′B′C′，B点的对应点B′（6，0），A，C对应点分别为A′，C′．

（1）求C点坐标；
（2）直接写出A′，C′坐标，并在图（2）中画出△A′B′C′；
（3）P为y轴负半轴一动点，以A′P为直角边以A’为直角顶点，在A′P右侧作等腰直角三角形A′PD．①试证明点D一定在x轴上；②若OP=3，求D点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴AO=2，BO=4，

作CH⊥x轴于H，如图1所示：

则∠CHA=90°=∠AOB，

∴∠ACH+∠CAH=90°，

∵AB⊥AC，

∴∠BAO+∠CAH=90°，

∴∠ACH=∠BAO，

在△ACH和△BAO中， ，

∴△ACH≌△BAO（AAS），

∴AH=BO=4，CH=AO=2，

∴OH=AO+AH=6，

∴C（﹣6，﹣2）

（2）

解：∵B（0，﹣4），B′（6，0），

∴△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度，

∴A′（4，4），C′（0，2）

（3）

解：①连B′D，延长DB′交PC′于E，交A′P于F，如图3所示：

∵△A′B′C′和△A′PD是等腰直角三角形，

∴A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，

∴∠PA′C′=∠DA′B′，

在：△A′DB′和△A′PC′中， ，

∴△A′DB′≌△A′PC′（SAS），

∴∠A′DB′=∠A′PC′，

∵∠PFE=∠A′FD，

∴∠PEF=∠PA′D=90°，

∴DB′⊥y轴，

∴D点在x轴上；

②∵△A′DB′≌△A′PC′得，

∴B′D=C′P=5，

∴OD=11，

∴D（11，0）．

【解析】（1）由点的坐标得出AO=2，BO=4，作CH⊥x轴于H，证出∠ACH=∠BAO，由AAS证明△ACH≌△BAO，得出AH=BO=4，CH=AO=2，求出OH=AO+AH=6，即可得出点C的坐标；C（﹣6，﹣2）；（2）由B（0，﹣4）和B′（6，0），得出△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得△A′B′C′，即可得出A′，C′坐标，画出图形即可；（3）①连B′D，延长DB′交PC′于E，交A′P于F，由等腰直角三角形的性质得出A′B′=A′C′，A′P=A′D，∠B′A′C′=∠DA′P=90°，证出∠PA′C′=∠DA′B′，由SAS证明△A′DB′≌△A′PC′，得出∠A′DB′=∠A′PC′，由三角形内角和得出∠PEF=∠PA′D=90°，得出DB′⊥y轴，即可得出D点在x轴上；
②由全等三角形的性质得出B′D=C′P=5，得出OD=11，即可得出答案．