Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED=∠ABC
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若BF=2，DF= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，

∵∠BOD=2∠BCD，∠A=2∠BCD，

∴∠BOD=∠A，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠BOD+∠AED=90°，

∴∠ODE=90°，

即OD⊥DE，

∴DE与⊙O相切；

（2）解：连接BD，过D作DH⊥BF于H，

∵DE与⊙O相切，

∴∠BDE=∠BCD，

∵∠AED=∠ABC，

∴∠AFC=∠DBF，

∵∠AFC=∠DFB，

∴△ACF与△FDB都是等腰三角形，

∴FH=BH= BF=1，则FH=1

，∴HD= =3，

在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2，

即（OD﹣1）2+32=OD2，

∴OD=5，

∴⊙O的半径是5．

【解析】（1）连接OD，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠A+∠ABC=90°，等量代换得到∠BOD=∠A，推出∠ODE=90°，即可得到结论；（2）连接BD，过D作DH⊥BF于H，由弦且角动量得到∠BDE=∠BCD，推出△ACF与△FDB都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到FH=BH= BF=1，则FH=1，根据勾股定理得到HD= =3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．