Question

【题目】如图，ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，DC∥AB，

∴∠ODF=∠OBE，

在△ODF与△OBE中

∴△ODF≌△OBE（AAS）

∴BO=DO；

（2）解：∵BD⊥AD，

∴∠ADB=90°，

∵∠A=45°，

∴∠DBA=∠A=45°，

∵EF⊥AB，

∴∠G=∠A=45°，

∴△ODG是等腰直角三角形，

∵AB∥CD，EF⊥AB，

∴DF⊥OG，

∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，

∵△ODF≌△OBE（AAS）

∴OE=OF，

∴GF=OF=OE，

即2FG=EF，

∵△DFG是等腰直角三角形，

∴DF=FG=1，∴DG= =DO，

∴在等腰RT△ADB 中，DB=2DO=2 =AD

∴AD=2 ，

【解析】（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后等腰直角三角形的性质即可求得．