Question

【题目】如图，正方形的边、在坐标轴上，点坐标为，将正方形绕点逆时针旋转角度 ，得到正方形， 交线段于点， 的延长线交线段于点，连结、．

（1）求证：平分 ；

（2）在正方形绕点逆时针旋转的过程中，求线段、、之间的数量关系；

（3）连结、、、，在旋转的过程中，四边形是否能在点G满足一定的条件下成为矩形？若能，试求出直线的解析式；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3） .

【解析】试题分析：（1）根据旋转和正方形的性质可以得出CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°，根据全等三角形的判定定理（HL）即可证出Rt△CDG≌Rt△CBG，即∠ DCG=∠BCG，由此即可得出CG平分∠DCB；

（2）由（1）的Rt△CDG≌Rt△CBG，可得出BG=DG，根据直角三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CHO≌Rt△CHD，即OH=HD,再根据线段间的关系即可得出 ；

（3）根据（2）的结论即可找出当G点为AB的中点时，四边形AEBD为矩形，再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标，设H点的坐标为 ，由此可得出，根据勾股定理即可求得 的值，即可得出点H的坐标，结合点H、G的坐标利用待定系数法即可求得直线DE的解析式.

试题解析：（1）证明：

∵正方形绕点旋转得到正方形，

∴， ，

在和中， ，

∴≌ ，

∴ ，

即平分.

（2）由(1)证得： ≌，∴ ，

在和中， ，

∴≌ ，

∴ ，

∴ .

（3）四边形可为矩形..

当点为中点时，四边形为矩形．如图， ，

由(2)证得： ，又,

则，

∴四边形为矩形..

∵点B坐标为（6,6）,

∴ AB=6，∴,

∴点的坐标为..

设点的坐标为，则.

∵， ,

∴， ，

在中， ， ， ，由勾股定理得： ，

解得： ，

∴点的坐标为.

设直线的解析式为： ，

又直线过点 、，∴，解得： ，

∴ 直线的解析式为： .