Question

【题目】如图①，△ABC中，DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线，且∠A=α

（1）用含α的代数式表示∠CDB；

（2）若把图①中∠ACB的平分线DC改为∠ACB的外角的平分线（如图②），怎样用含α的代数式表示∠CDB．

（3）若把图①中“DC，DB分别是∠ACB和∠ABC的平分线”改成“DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线”，（如图③），怎样用含α的代数式表示∠CDB．

Answer 1

【答案】（1）90°+；（2）；（3）90°-；

【解析】

(1)利用三角形的内角和定理，及角平分线定义；
(2)利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解；
(3)利用三角形的内角和定理，及角平分线定义，邻补角定义．

（1）∵∠A=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，

∵DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的平分线，

∴∠DBC+∠DCB=×（∠ABC+∠ACB）=90°﹣α，

∴∠CDB=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=90°+；

（2）设BC的延长线上有一点E．

∵∠DCE是△BCD的一个外角，

∴∠D=∠DCE﹣∠DBC，

同理：∠A=∠ACE﹣∠ABC，

∵CD和BD分别为角平分线，

∴∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，

∴∠CDB=；

（3）∵∠A=α，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α，

∵DC，BD分别是∠ACB和∠ABC的外角的平分线，

∴∠DBC+∠DCB=×[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]=90°+，

∴∠CDB=CDB=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=90°﹣．