Question

【题目】如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD 是边 AB上的中线，分别过点 C ， D 作 BA ， BC的平行线交于点 E ，且 DE 交 AC 于点 O ，连接 AE ．

（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；
（2）若AC=2DE，求 sin∠CDB的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE∥BC，CE∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴EC=BD，
又∵CD是AB边上的中线，
∴AD=BD，
∴EC=AD ，
又∵EC∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BCA=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形.

（2）解：如下图：

过点C作CF⊥AB于点F，
由（1）得，BC=DE，
设BC=x，则AC=2x，
在RtABC中，AB==x，
∵ABCF=ACBC，
∴CF==x，
∵CD=AB=x，
∴sin∠CDB==.

【解析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理、锐角三角函数的定义等，依照题意准确作出辅助线是解题的关键.