Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，点E在BA延长线上．

（1）如图①，若F为矩形对角线AC、BD的交点，点E在BA延长线上且BE＝AC，连接DE，M是DE的中点，连接BM，FM若AD＝6，FM＝，求线段AE的长；

（2）如图②，过点F作FE⊥BD交AD于点H，交BA延长线于点E，连接AF，当FD＝FE时，求证：HA+AB＝AF．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）见解析

【解析】

（1）由矩形的性质可得AC=BD，BF=DF，由中位线定理可得BE＝2MF，再由勾股定理可求AB的长，即可求AE的长；

（2）如图②，过点F作FN⊥AF交AB的延长线于点N，由“ASA”可证△EFN≌△DFA，可得∠DAF=∠N，AF=FN，由等腰直角三角形的性质可得AN= ，由“ASA”可证△AHF≌△NBF，可证AH=BN，即可得结论．

（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AC＝BD，BF＝DF，

∵M是DE的中点，BF＝DF，

∴BE＝2MF＝，

∵BE＝AC，AC＝BD

∴BD＝ ，

∴AB＝,

∴AE＝BE﹣AB＝3，

（2）如图②，过点F作FN⊥AF交AB的延长线于点N，

∵EF⊥DF，EA⊥AD，

∴∠E+∠AHE＝90°，∠ADF+∠DHF＝90°，

∴∠E＝∠ADF，

∵∠AFN＝∠EFD＝90°，

∴∠AFD＝∠EFN，且∠E＝∠ADF，且EF＝DF，

∴△EFN≌△DFA（ASA）

∴∠DAF＝∠N，AF＝FN，且∠AFN＝90°，

∴AN＝AF，

∵∠AFN＝∠EFB＝90°，

∴∠AFH＝∠BFN，且∠DAF＝∠N，AF＝FN，

∴△AHF≌△NBF（ASA），

∴AH＝BN（全等三角形对应边相等），

∵AN＝AF，

∴AB+BN＝AB+AH＝ AF，