Question

【题目】已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2﹣8ax﹣交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．

（1）求抛物线l1，l2的表达式；

（2）当x的取值范围是　 　时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；

（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x+（2）2≤x≤4（3）12

【解析】

（1）首先确定A、B两点坐标，求出抛物线l1的解析式，再求出点C坐标，利用待定系数法求出抛物线l2的解析式即可；

（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，求出两个抛物线的顶点坐标即可解决问题；

（3）分两种情形分别求解：①如图1中，当1≤m≤5时，MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，利用二次函数的性质即可解决问题；

（1）由题意抛物线l1的对称轴x=﹣=4，

∵抛物线l1交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=6，

∴A（1，0），B（7，0），

把A（1，0）代入y=ax2﹣8ax﹣，解得a=﹣，

∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+4x﹣，

把C（5，n）代入y=﹣x2+4x﹣，解得n=4，

∴C（5，4），

∵抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，

∴可以假设抛物线l2的解析式为y=x2+bx+c，

把A（1，0），C（5，4）代入y=x2+bx+c，

得到，解得，

∴抛物线l2的解析式为y=x2﹣2x+．

（2）观察图象可知，中两个抛物线的顶点之间时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，

顶点E（2，﹣），顶点F（4，）

所以2≤x≤4时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大，

故答案为2≤x≤4．

（3）∵直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，

∴M（m，﹣m2+4m﹣），N（m， m2﹣2m+），

①如图1中，当1≤m≤5时，

MN=﹣m2+6m﹣5=﹣（m﹣3）2+4，

∴m=3时，MN的最大值为4．

②如图2中，当5＜m≤7时，MN=m2﹣6m+5=（m﹣3）2﹣4，

5＜m≤7时，在对称轴右侧，MN随m的增大而增大，

∴m=7时，MN的值最大，最大值是12，

综上所述，MN的最大值为12．