Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF．

（1）试说明：△AED≌△AFD；

（2）当BE＝3，CE＝9时，求∠BCF的度数和DE的长；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）90°，5．

【解析】

（1）根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可证明；

（2）设DE＝x，则CD＝9﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，推出x2＝（9﹣x）2+32，解方程即可．

（1）证明：∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，

∴△BAE≌△CAF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，BE=CF，

∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，

∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，

∴∠DAE＝∠DAF，

∵DA＝DA，AE＝AF，

∴△AED≌△AFD（SAS）；

（2）解：设DE＝x，则CD＝9﹣x．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

∵∠ABE＝∠ACF＝45°，

∴∠BCF＝90°，

∵△AED≌△AFD，

∴DE＝DF＝x，

在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，

∴x2＝（9﹣x）2+32，

∴x＝5，

∴DE＝5．