Question

【题目】（问题情境）

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是　 　．

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　 　．

解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

（初步运用）

如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．

（灵活运用）

如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）2＜AD＜10；【初步运用】BF＝5；【灵活运用】BE2+CF2＝EF2，理由见解析

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理解答；

（2）根据三角形的三边关系计算；

初步运用 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，证明△ADC≌△MDB，根据全等三角形的性质解答；

灵活运用 延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC，证明△DBE≌△DCG，得到BE＝CG，根据勾股定理解答．

解：（1）在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选：B；

（2）∵△ADC≌△EDB，

∴EB=AC=8，

在△ABE中，

AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴2＜AD＜10，

故答案为：2＜AD＜10；

【初步运用】

延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，

∵AE＝EF．EF＝3，

∴AC＝5，

∵AD是△ABC中线，

∴CD＝BD，

∵在△ADC和△MDB中，

，

∴△ADC≌△MDB，

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即BF＝5；

【灵活运用】

线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2．

证明：如图3，延长ED到点G，使DG＝ED，连结GF，GC，

∵ED⊥DF，

∴EF＝GF，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDG中，

，

∴△BDE≌△CDG（SAS），

∴BE＝CG，

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∵△BDE≌△CDG，EF＝GF，

∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，

∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，

∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，

∴BE2+CF2＝EF2．