Question

【题目】如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是_____

Answer 1

【答案】12

【解析】

先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．

设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．

作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．

连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．

∵OA是PE的垂直平分线，

∴EQ=QP；

同理，OB是PF的垂直平分线，

∴FR=RP，

∴△PQR的周长=EF．

∵OE=OF=OP=12，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ）=60°，

∴△EOF是正三角形，

∴EF=12，

即在保持OP=12的条件下△PQR的最小周长为12．

故答案为：12