Question

【题目】观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3…）.观察规律解答以下各题：

……

（1）填写下表:

图形序号	挖去三角形的个数
图1	1
图2	1+3
图3	1+3+9
图4

（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数fn(用含n的代数式表示)；

（3）若图n+1中挖去三角形的个数为fn+1，求fn+1-fn

Answer 1

【答案】（1）40；（2）fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1;（3）3n

【解析】分析：（1）由图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的（1+3）个小三角形，图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，据此可得；
（2）由（1）中规律可知fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1；
（3）将fn+1=3n+3n-1+…+32+3+1减去fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1即可得．

详解：（1）图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
则图4挖去中间的（1+3+32+33）个小三角形，即图4挖去中间的40个小三角形，

（2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1；
（3）∵fn+1=3n+3n-1+…+32+3+1，
fn=3n-1+3n-2+…+32+3+1
∴fn+1fn=3n．