Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：

连接OD，

∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，

∴ = ，

∴OD⊥BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

即BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE//BC，

∴OD⊥DE，

∴ED与⊙O的位置关系是相切

（2）解：连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

在直角△ABD中，BD= = = ，

∵AB为直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

又∵∠AFC=∠BFD，

∴∠FBD=∠CAD=∠BAD

∴△FBD∽△BAD，

∴ =

∴FD=

∴AF=AD﹣FD=5﹣ = ．

【解析】（1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则 = ，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD//AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线；（2）首先证明△FBD∽△BAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求DF的长，继而求得答案．