Question

【题目】已知四边形ABCD中，AB=10，BC=8，CD=∠DAC=45°，∠DCA=15°.

(1)求△ADC的面积；

(2)若E为AB的中点，求线段CE的长。

Answer 1

【答案】（1）；（2）CE=5.

【解析】

（1）过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F，构造含有30度角的直角△CFD，通过解该直角三角形求得DF、CF的长度，进而利用等腰直角△ACF的性质求得AD的长度，结合三角形的面积公式解答即可；

（2）由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答．

（1）过点C作CF⊥AD，交AD延长线于点F，

∵∠DAC=45°，∠DCA=15°，

∴∠CDF=∠DAC+∠DCA=45°+15°=60°，

在Rt△CFD中，CD＝2，

∴DF＝CD＝，CF＝，

∴AD＝AFDF＝3，

∴S△ADC＝AD×CF=×(2)×3=93．

（2）在Rt△AFC中，∵∠DAC=45°，CF＝3，

∴AC＝CF＝×3＝6，

在△ABC中，∵AC2+BC2=62+82=AB2

∴△ABC是直角三角形，

又∵E为AB中点，

∴CE＝AB＝×10＝5．