Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）11．

【解析】分析：（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD与DE垂直，即可得证；

（2）过O作OF垂直于AC，利用垂径定理得到F为AC中点，再由四边形OFED为矩形，求出FE的长，由AF+EF求出AE的长即可．

详解：（1）连接OD，

∵D为弧BC的中点，∴弧BD=弧CD，

∴∠BOD=∠BAE，∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°，∴∠AED=90°，

∴OD⊥DE，

则DE为圆O的切线；

（2）过点O作OF⊥AC，

∵AC=10，∴AF=CF=AC=5，

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四边形OFED为矩形，

∴FE=OD=AB，

∵AB=12，∴FE=6，

则AE=AF+FE=5+6=11．