【题目】如图所示，一根长2a的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．

请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．

在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

参考答案：

【答案】(1)斜边上的中线OP不变；(2)当的斜边上的高h等于中线OP时，为等腰直角三角形时，面积最大，理由见解析

【解析】试题分析：（1）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断；
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，就可以求出．

试题解析：（1）不变。

理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变。
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大。

如图，若h与OP不相等，则总有h<OP，
故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大
此时，S△AOB=AB·h=×2a·a=a2，所以△AOB的最大面积为a2.

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