Question

【题目】如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．

（1）点（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）M
（2）

解：经过t秒时，NB=t，OM=2t，

则CN=3﹣t，AM=4﹣2t，

∵A（4，0），C（0，4），

∴AO=CO=4，

∵∠AOC=90°，

∴∠BCA=∠MAQ=45°，

∴QN=CN=3﹣t

∴PQ=1+t，

∴S△AMQ= AMPQ= （4﹣2t）（1+t）=﹣t2+t+2．

∴S=﹣t2+t+2=﹣t2+t﹣ + +2=﹣（t﹣ ）2+ ，

∵0≤t≤2

∴当 时，S的值最大．

（3）

解：存在．

设经过t秒时，NB=t，OM=2t

则CN=3﹣t，AM=4﹣2t

∴∠BCA=∠MAQ=45°

①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高

∴PQ是底边MA的中线

∴PQ=AP= MA

∴1+t= （4﹣2t）

∴t=

∴点M的坐标为（1，0）

②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合

∴QM=QP=MA

∴1+t=4﹣2t

∴t=1

∴点M的坐标为（2，0）

【解析】（1）（BC÷点N的运动速度）与（OA÷点M的运动速度）可知点M能到达终点．（2）经过t秒时可得NB=y，OM﹣2t．根据∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．求出S与t的函数关系式后根据t的值求出S的最大值．（3）本题分两种情况讨论（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高；若∠QMA=90°，QM与QP重合）求出t值．