Question

【题目】解答题
（1）实验与探究

①在下列三个图中，给出菱形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图（1），（2），（3）中点C的坐标，它们分别是、、；
②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后点C对应的点C1的坐标分别是、、 ． （其中（90°，2）表示旋转90°，长度扩大2倍）
（2）归纳与发现
①在图4中，给出菱形ABCD的顶点A，B，D的坐标，求出顶点C的坐标；（点C的坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）
②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后对应的C1的坐标为多少．
（3）运用与推广
①通过对图（1），（2），（3），（4）的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论菱形ABCD处于直角坐标系的哪个位置，当顶点坐标为：A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）时，四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为（不必证明）；
②通过顶点C的坐标和旋转后的C1的坐标探究，你会发现无论C点在哪个位置，绕原点逆时针依照（90°，n）旋转，设C（x1 ， y1），C1（x2 ， y2），则x1 ， x2 ， y1 ， y2满足的等式是（不必证明）．
（备注：有两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则它们的中点P的坐标为（ ， ））

Answer 1

【答案】
（1）（8，4）；（e+c，d）；（c+e﹣a，d）；（﹣8，16）；（﹣2d，2e+2c）；（﹣2d，2c+2e﹣2a）
（2）

解：①如图所示：分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，

分别过A，D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F．

在平行四边形ABCD中，CD=BA，

又∵BB1//CC1，

∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度．

∴∠EBA=∠FCD．

在△BEA和△CFD中

，

∴△BEA≌△CFD（AAS）．

∴AE=DF=a﹣c，BE=CF=d﹣b．

设C（x，y）．

由e﹣x=a﹣c，得x=e+c﹣a．

由y﹣f=d﹣b，得y=f+d﹣b．

∴C（e+c﹣a，f+d﹣b）．

②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后对应的C1的坐标为（2b﹣2f﹣2d，2e+2c﹣2a）

（3）m=c+e﹣a；n=d+f﹣b；x2=﹣ny1 ， y2=nx1
【解析】解：（1.）①由题意可得出：图1，图2，图3中的顶点C的坐标，它们分别是（8，4），（e+c，d），（c+e﹣a，d）．
所以答案是：（8，4），（e+c，d），（c+e﹣a，d）．
②菱形绕原点逆时针依照（90°，2）旋转后点C对应的点C1的坐标分别是（﹣8，16），（﹣2d，2e+2c），（﹣2d，2c+2e﹣2a）
所以答案是（﹣8，16），（﹣2d，2e+2c），（﹣2d，2c+2e﹣2a）．
（3.）①由图1，2，3可得出：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b．或m+a=c+e，n+b=d+f．
所以答案是：m=c+e﹣a，n=d+f﹣b．
②由图1，2，3可得出：无论C点在哪个位置，绕原点逆时针依照（90°，n）旋转可得：x2=﹣ny1 ， y2=nx1 ，
所以答案是x2=﹣ny1 ， y2=nx1 ．
【考点精析】掌握菱形的性质和图形的旋转是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素．