Question

【题目】一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ， 周长为；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ， 周长为；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

Answer 1

【答案】
（1）；（1+ ）a
（2）a2；2a
（3）

解：猜想：重叠部分的面积为 ．

理由如下：

过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G

设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a

∴MH=MG=

又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，

∴∠HME=∠GMF，

∴Rt△MHE≌Rt△MGF

∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积

∵正方形CGMH的面积是MGMH= × =

∴阴影部分的面积是 ．

【解析】解：（1）∵AM=MC= AC= a，则
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为 a2 ， 周长为（1+ ）a．（2）∵重叠部分是正方形
∴边长为 a，面积为 a2 ， 周长为2a．
（1）由等腰直角三角形的性质：底边上的中线与底边上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC= AC= a，则重叠部分的面积是△ACB的面积的一半，为 a2 ， 周长为（1+ ）a．（2）易得重叠部分是正方形，边长为 a，面积为 a2 ， 周长为2a．（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积．