Question

【题目】如图，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）
（1）若点D与点B重合，当t=5时，连接QE，PF，此时△AQE为三角形、四边形QEFP为形；
（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止． ①如图①，若M为EF中点，当D、M、Q三点在同一直线上时，求t的值；
②在运动过程中，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切时，求运动时间t．

Answer 1

【答案】
（1）等腰；菱
（2）解：①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，

此时AQ=t，EM= EF= ，AD=12﹣t，DE=4．

∵EF∥AC，

∴△DEM∽△DAQ，

∴ = ，

∴ = ，

解得t= ；

②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，

此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．

Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图③，

则有∠HQD=∠HDQ=45°，

∴QH=DH．

∵△AHQ∽△EDF（已证），

∴ = = ，

∴ = = ，

∴QH= ，AH= ，

∴DH=QH= ．

∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，

∴ + +t=12，

∴t=5；

Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图④，

同理可得DH=QH= ，AH= ．

∵AB=AD+DB=AH﹣DH+DB=12，DB=t，

∴ ﹣ +t=12，

∴t=10．

综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

【解析】解：（1）四边形EFPQ是菱形． 理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，
∵t=5，∴AP=2×5=10．
∵点Q是AP的中点，
∴AQ=PQ=5．
∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，
∴EF= =5，
∴PQ=EF=5．
∵AC∥EF，
∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．
又∵∠QHA=∠FDE=90°，
∴△AHQ∽△EDF，
∴ = = ．
∵AQ=EF=5，
∴AH=ED=4．
∵AE=12﹣4=8，
∴HE=8﹣4=4，
∴AH=EH，
∴AQ=EQ，
∴PQ=EQ，
∴△AQE是等腰三角形，平行四边形EFPQ是菱形；
所以答案是：等腰，菱形．