Question

【题目】如图，抛物线y= x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（﹣1，0）在抛物线 上，

∴ ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为 ．

∵ ，

∴顶点D的坐标为 ；

（2）

解：△ABC是直角三角形．理由如下：

当x=0时，y=﹣2，

∴C（0，﹣2），则OC=2．

当y=0时， ，

∴x1=﹣1，x2=4，则B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）

解：作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．

连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．

设直线C′D的解析式为y=ax+b（a≠0），则

，

解得 ，

∴ ．

当y=0时， ，则 ，

∴ ．

【解析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点D的坐标；（2）利用点A、B、C的坐标来求线段AB、AC、BC的长度，得到AC2+BC2=AB2 ， 则由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．利用待定系数法求得直线C′D的解析式，然后把y=0代入直线方程，求得 ．