Question

【题目】在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．

（1）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；
（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；
（3）折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，

∵四边形OABC是正方形，

∴∠BAC=∠BCA=45°，BA=BC，OA=OC，∠OAB=∠OCB=90°

∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM．

∴BM=BN，

∴AM=CN．

在△OAM与△OCN中，

∴△OAM≌△OCN（SAS），

∴∠AOM=∠CON，

∴∠AOM=∠CON=22.50，

∴MN∥AC时，旋转角为22.50．

（2）

解：证明：如图2中，

过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．

∴∠AOE=∠CON．

在△OAE与△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN．

在△OME与△OMN中，

∴△OME≌△OMN（SAS），

∴∠OME=∠OMN．

∵MA⊥OA，MF⊥OF．

∴OA=OF=2，

∴在旋转过程中，高为定值．

（3）

解：旋转过程中，p值不变化．

理由：∵△OME≌△OMN，

∴ME=MN，

∵AE=CN，

∴MN=ME﹣AM+AE=AM+CN．

∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+AC=4．

∴△MBN的周长p为定值．

【解析】（1）只要证明△AOM≌△CON，推出∠AOM=∠CON=22.5°即可解决问题．（2）如图2中，过点O作OF⊥MN于F，延长BA交y轴与E点，则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=45°﹣∠AOM．先证明△OAE≌△OCN（ASA），再证明△OME≌△OMN（SAS），推出∠OME=∠OMN，利用角平分线性质定理即可解决问题．（3）由（2）可知，MN=AM+CN，可以推出△BMN的周长为BA+BC是定值．
【考点精析】本题主要考查了图形的旋转的相关知识点，需要掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素才能正确解答此题．