Question

【题目】如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，点D，E分别为边AB，BC的中点，点F在CA延长线上，且∠FDA=∠B．

(1)求证：AF=DE；

(2)若AC=3，BC=5，求四边形AEDF的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8

【解析】

（1）根据中位线的性质可知DE∥CF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BE，进而推出∠BAE=∠B=∠FDA，推出AE∥DF，然后根据平行四边形的判定和性质得出结论；

（2）由平行四边形的性质可知AF=ED，AE=DF，根据中位线的性质可知ED=AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BE=BC，根据平行四边形的周长=2DE+2AE即可求出答案．

解：∵Rt△ABC，∠BAC=90°，点D，E分别为边AB，BC的中点，

∴ED∥AC，AE=BE，

∴∠BAE=∠B

∵∠B=∠FDA，

∴∠BAE =∠FDA，

∴AE∥DF，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∴AF=DE；

（2）∵四边形AEDF是平行四边形，

∴ED=AF

∵Rt△ABC，∠BAC=90°，点D，E分别为边AB，BC的中点，

∴ED=AC，AE=BE=BC，

∵AC=3，BC=5，

∴平行四边形AEDF的周长=2DE+2AE=AC+BC=3+5=8