Question

【题目】如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论：

①m+n=q+p；

②m+p=n+q；

③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点；

④若m=n，则E点一定在BD上．

其中正确结论的序号是（　　）

A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，由矩形的性质容易证出①不正确，②正确；若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥DE于Q，延长BE交CD于F，先证AP=CQ，再证明△ABP≌△CFQ，得出AB=CF，F与D重合，得出③不正确，④正确，即可得出结论．

详解：过E作MN⊥AB，交AB于M，CD于N，作GH⊥AD，交AD于G，BC于H，如图1所示： 则m=ABEM，n=BCEH，p=CDEN，q=ADEG，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=GH，BC=AD=MN，

∴m+p=ABMN=ABBC，n+q=BCGH=BCAB， ∴m+p=n+q；∴①不正确，②正确；

若m=n，则p=q，作AP⊥BE于P，作CQ⊥BE于Q，延长BE交CD于F，如图2所示：

则∠APB=∠CQF=90°， ∵m=BEAP，n=BECQ， ∵m=n， ∴AP=CQ，

∵AB∥CD， ∴∠1=∠2， ∴△ABP≌△CFQ（AAS）， ∴AB=CF， ∴F与D重合，

∴E一定在BD上； ∴③不正确，④正确． 故选：B．