Question

【题目】Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直线AB上取一点M，使AM=BC，过点A作AE⊥AB且AE=BM，连接EC，再过点A作AN∥EC，交直线CM、CB于点F、N．

（1）如图1，若点M在线段AB边上时，求∠AFM的度数；

（2）如图2，若点M在线段BA的延长线上时，且∠CMB=15°，求∠AFM的度数．

Answer 1

【答案】(1) 45°；(2) 120°．

【解析】

（1）如图1，连接EM．根据AE⊥AB，AE=MB，AM=CB，可求出△AEM≌△BMC；根据直角三角形的性质可知△EMC是等腰直角三角形；再结合平行线的性质可知∠AFM=45°．

（2）如图2，连接EM．同（1）△AEM≌△BMC，则EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．易证△EMC是等边三角形，故∠ECM=60°，又由AN∥CE得到：∠AFM=∠ECM=60°．

（1）连接EM．

∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．

在△AEM与△BMC中，

，

∴△AEM≌△BMC（SAS）．

∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．

∵∠AEM+∠AME=90°，

∴∠BMC+∠AME=90．

∴∠EMC=90°．

∴△EMC是等腰直角三角形．

∴∠MCE=45°

∵AN∥CE，

∴∠AFM=∠MCE=45°；

（2）如图2，连接ME．

同（1）△AEM≌△BMC（SAS），则EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．

又∵∠MEA+∠EMA=90°，

∴∠EMC=60°，

∴△EMC是等边三角形，

∴∠ECM=60°，

∵AN∥CE

∴∠AFM+∠ECM=180°，

∴∠AFM=120°．