Question

【题目】如图，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．

（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，

∵E、F分别为AB、CD的中点，

∴AE=CF．

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）

（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．

证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中点，

∴DE= AB=BE．

∵在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，

∴EB∥DF且EB=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∴四边形BFDE是菱形

【解析】（1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC，∠A=∠C，E、F分别为边AB、CD的中点，那么AE=CF，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出△AED≌△CFB．（2）直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD∥BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．