Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．

(1)求证：CF=CE

(2)试判断四边形CFHE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)四边形CFHE是菱形.

【解析】

（1）如图，先由直角三角形的性质证∠3=∠5，再由对顶角相等和等量代换得∠4=∠5，从而得到CF=CE；

（2）由角平分线的性质定理得CE=EH，又因为CF=CE，所以CF=EH，再证CF∥EH，得平行四边形CFHE，又因为CF=CE，四边形CFHE是菱形.

(1)证明：如图

∵∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，

∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠AE平分∠CAB，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠5，

∵∠3=∠4，

∴∠4=∠5，

∴CF=CE

(2)四边形CFHE是菱形

理由：∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，

∴CE=EH，

由(1)CF=CE，

∴CF=EH，

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，

∴∠CDB=∠EB，

∴CD∥EH，即CF∥EH，

∴四边形CFHE是平行四边形．

∵CF=CE，

∴四边形CFHE是菱形.