Question

【题目】如图，已知菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°．E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE=CF，连接AE、AF．

（1）∠EAF的度数是；
（2）求证：AE=AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，连接EF，设BE=x，EF2=y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）60°
（2）

证明：由（1）证得△ABE≌△ACF，

∴AE=AF

（3）

解：由（2）得AE=AF，△ABE≌△ACF，

∴∠CAF=∠BAE，

∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴∠AFE=60°，

∴∠EFG=180﹣∠AFE=120°，

∵∠BCD=120°=∠EFG，∠CEF=∠FEG，

∴△ECF∽△EFG，

∴ ，∴EF2=ECEG，

∵AB∥CD，∴ ，

∴ ，

∴CG= ，

∴EG=CE+CG=6﹣x+ ，

∵EF2=ECEG，

∴y=（6﹣x）（6﹣x+ ）=x2﹣6x+36．

【解析】（1）解：如图1，连接AC，

在菱形ABCD中，
∵AB=BC=6，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ACF=60°，
在△ABE与△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠CAF=∠BAE，
∵∠BAE+∠CAE=60°，
∴∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠EAF=60°，
所以答案是：60°；
【考点精析】认真审题，首先需要了解全等三角形的性质(全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等)，还要掌握菱形的性质(菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半)的相关知识才是答题的关键．