Question

【题目】已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=____.45°；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ABC=30°，∠ACD=45°，AC=2，B、D之间距离是否有最大值？如有求出最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）BD=5；（3）当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为2+．

【解析】

（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．首先说明点B在⊙O上运动，当B、O、D共线时，BD的值最大，求出OD即可解决问题；

（1）解：（1）如图1中，

∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．∠DAB+∠ABC=180°．
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC．
∵∠DAC=2∠ABC，
∴2∠ABC+2∠ABC=180°，
∴∠ABC=45°
故答案为：45；
（2）如图2，以AB为边在△ABC外作等边三角形△ABE，连接CE．

∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）如图3中，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．

∵∠ABC=∠AOC=30°，
∴点B在⊙O上运动，
作OE⊥DA交DA的延长线于E．
在Rt△AOE中，OA=AC=2，∠EAO=30°，
∴OE=OA=1，AE=，
在Rt△ODE中，DE=AE+AD=2+，
∴DO==，
当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD=2+．