Question

【题目】在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG=BF，连接CE、DE、DG．

（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形；
（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于GH的线段．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE、EB、EC、GD；

【解析】

（1）欲证明四边形CEDG是平行四边形，只要证明DE∥CG，DE=CG即可．
（2）由四边形四边形CEDG是平行四边形，推出DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，由∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE2=ADAH=2a3a=6a2，推出AE=a，在Rt△AEH中，HE=

=a，推出AE=HE，因为GH=HE，AE=EB=CE=CD，即可推出线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的倍．

（1）证明：如图1中，

∵∠ACB=90°，AE=EB，
∴EC=EA=EB，
∵EF⊥BC，
∴CF=FB，
∵AD=DC，AE=EB，
∴DE∥BC，DE=BC=BF，
∵CG=BF，
∴DE=CG，DE∥CG，
∴四边形CEDG是平行四边形；
（2）解：如图2中，

∵四边形四边形CEDG是平行四边形，
∴DH=CH，GH=HE，设DH=CH=a，则AD=CD=2a，
∵∠A=∠A，∠AEH=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△AEH，
∴AE2=ADAH=2a3a=6a2，
∴AE=a，
在Rt△AEH中，HE=

=a，
∴AE=HE，
∵GH=HE，AE=EB=CE=GD，
∴线段AE、EB、EC、GD都是线段GH的倍．